母校老师问了我一个微分方程y''+py'+qy=Aerx的解法问题，当然在此之前也问过我类似的方程的解答问题，虽然我已经很久没有去想微分方程的解析解问题，但是依稀还记得微分方程的一些知识。于是用纸张比划了很多，一通推导，关于此类方程的解法，引申出了线性空间、基、解空间的问题乃至比这个更复杂的高阶问题的解答。自己觉得还算满意，庆幸还没有完全把此类问题还给老师。过程中回忆起了一般的n阶齐次常微分方程归约到一元n次方程，以及后面的常函数项是形如Axnerx之和的形式的解法，这是拓展的形式。
从古埃及尼罗河泛滥丈量土地开始，人类就已经在为了技术的需要探索数学。中国在古代的时候，为了建筑、丈量的需要，也诞生了很多技术，辅助着也产生了一些应用上的数学。这些产生的数学都是应用上的数学。然而古希腊却是古数学的一个奇葩，他们脱离了远古社会中生产力低下的现实，而开始在数学的石器时代就开始去探索数学的本质，其代表作《几何原本》是考虑数学应该是先建立公理，再通过演绎法来建立所有的命题，而不是只去考虑当时的实用性。我至今无法理解为什么古希腊数学家会有如此抽象的想法，虽然不得不说其数学思想还是有很多的缺陷，但毕竟是人类记录历史里第一次思考数学的本质。
我们从小学就开始做数学应用题，这是很科学的，因为不可能一上来就教小学生什么叫公理，什么叫peano算术系统，因为这个太抽象。人类最开始研究数学就是这样从实际应用来出发的，以及后面很多时候数学的进步也是为了实际应用来建模。我们做数学应用题，做着做着，发现那种鸡兔同笼这样的问题开始就要用所谓的技巧了，这个很不方便，于是我们学习了方程，此类问题的解决手段一下子变的简单。那么从简单应用题到一元一次方程就是一个数学的进步。
到了初中，我们的数学开始变的抽象起来，应用题越来越少，题目越来越多的是纯数学。这就是开始训练演绎的手段了。到了高中，所有的一切进一步升华。
到了大学，接触到了数学分析，又是一种什么样的情景呢?数学分析在整个数学中有个非常重要的作用，大多数学生是学到数学分析的时候才第一次真正意义上明白了数学的严格性，因为数学分析第一步则是学习实数。虽然到了初中，所有的学生都已经明白了什么叫实数，可完全没有深入的去明白实数系统是如何建立的，也没有明白诸如3.1415926...这样的表示的意义，当然，我们现在明白，它其实是用一个级数的极限来表示一个数。实数系的学习可能是很多人对于数学永远痛苦的回忆之一，因为人生第一次明白了数学的严格性，严格性带来的痛苦是，可能一个定理的证明花费半天甚至一天时间。而封闭曲线的定义恐怕要让很多人绞尽脑汁。
然而，真实的数学发展却未必是按我们学习的方向。实数系的建立是在微积分发展了之后才开始建立的，甚至当时已经有微分方程的研究了。而微积分建立之初是为了力学的研究，Newton和Leibniz希望通过一种通用的手段来解决力学问题。微积分建立的基础在最开始的百年是不牢固的，一些基础性的问题并没有考虑清楚，所以牛顿曾经被红衣大主教驳的哑口无言，而直到Cauthy完备了实数系基础理论，才让微积分站的住脚。
一元五次方程的求解问题、三大尺规作图问题、多n边形的尺规作图问题，这些问题曾缠绕了数学家很多年，特别是三大尺规作图问题，数学家被困扰了一两千年。而Galois的抽象代数则成功的把这些问题最终规避为一个问题。
二十世纪为数理逻辑的世纪，这个世纪里发展了很多与数理逻辑相关的学科，包括计算理论。曾经的三大数学危机带来了新的思维，带来了数学的发展，这最后一大数学危机正是给数理逻辑准备的，而数理逻辑，则是数学的本质所在了，在数理逻辑逻辑里看来，计算10*10=100，和解决P?=NP问题，还真未必有什么本质区别。
然而我们还是要问一下，数学对于人类到底意味着什么？
人类一代代生存、一代代思考，过程中遇到了问题，数学是为了解决问题的。我们总是不断的把实际情况抽象化，客观上使用数学建模，无论那叫不叫数学建模。人们期望有种通用的方法解决所遇到的一类问题，于是我们就有了算术，有了平面几何。数学的发展就是为了不断的总结，不断的抽象，以希望提炼出精华，从而得到更一般的工具。
另一方面，发展数学本身的时候，我们会遇到一些数学难题，以及所建立出来的数学（比如曾经的微积分）存在着很多的底层问题，这都需要人们要去解决。数学难题往往推动着数学的发展，而数学底层的问题就更大，数学如果站不住脚，在此之上的工具是不可靠的。
有些人曾经问我，解决哥德巴赫猜想有什么作用？这似乎是民科最感兴趣的数学问题，因为它简单易懂，不需要很高的数学修养就可以明白。于是有些人就认为这其实是一个解决了也没有多大意义的问题。然而我要说的是，解决任何一个数学问题可能都是有意义的，因为解决它的过程中，我们可能造出了新的数学工具，从而对于解决其他的问题有意义。比如四色问题和单群分类问题都是通过计算机解决的，因为实在太复杂，计算机相对方便干重复而枯燥的事情，这就给了我们一个新的启发。
我觉得数学对于人类的意义，是在于人类可以用统一、可靠的手段解决一类问题，而每当遇到问题的时候，我们都可以使用数学建模，从而使用那同一类的解决手段，使之有理可循，让我们从完全的经验化中走出，而向理论化、工具化发展。远古社会，数学为我们提供基础算术，从而有了度量手段；工业社会来了，数学为我们提供了微积分等一系列工具；信息时代来了，数学为我们提供了计算理论、递归论、图论这样的工具，也为我们提供了算法这样的东西；AI时代来了，数学一样为我们所有的算法模型提供最基本的数学保障。P?=NP的问题，甚至可能改变未来的社会格局。总之，数学是个取之不尽的大仓库。从这个方面来看，我是反对奥数的，因为总觉得它是希望问题复杂化，在我看来意义并不大，仿佛是数学杂技。
文章转载自：http://www.cnblogs.com/Colin-Cai/p/8450327.html
